GPT-6 證明 57 年擺圓難題
剛剛，又有數學愛好者用GPT-6 Astra把一個57年數學難題推進了一大步。問題聽上去倒是不復雜： 給你N個半徑為1的圓盤，怎麼把它們塞進一個大圓裡，才能讓大圓的半徑儘可能小？事實上，數學家們也確實在1969年就給出了漂亮的排列方案，只不過……57年來，誰也沒能嚴格證明那就是最優解。於是這一次，數學愛好者nor掏出了GPT-6 Astra……然後一口氣把15、16、17、18和20這5種情況，也就是N≤20的剩餘情況都給嚴格證明了…… 此前，只有N≤14和N=19的情況已經得到驗證。
啊對了，N到20，並不是AI的極限，只是nor沒想著往下證了…… 卡了半個世紀的證明 咱們先把這個問題用更數學的形式來歸置歸置。假設有N個半徑均為1的圓盤，以及一個半徑為R的大圓。要求： 所有小圓盤必須完全位於大圓內部，可以與大圓邊界相切，但不能超出邊界。任意兩個小圓盤不能發生內部重疊，但允許彼此相切。小圓盤可以在大圓內任意移動、排列，不限制排列方式。問題是：對於給定的正整數N，大圓半徑R最小可以是多少？看上去是一道平平無奇奧數題，但實際上，尋找最優排列只是問題的第一層，但就難在如何嚴格在數學上證明，排列已經達到極限，沒有其他更好的擺法。在1968年，美國數學家葛立恆就證明了N≤7的情況。
1969年，數學研究者Udo Pirl把證明範圍推進到10個圓盤，並進一步研究了11-19個圓盤的排列方案。但一直到2003年前後，N≤14以及N=19的情形才被嚴格證明。nor是一位長期研究數學、機器學習和優化算法的技術作者，多次公開參與AI輔助數學研究。他本人在十多年前就關注到了這個題目，而這個問題在過去十幾年間確實也沒啥進展…… 那還說啥，丟給GPT-6 Astra正好（bushi）。nor也循序漸進的：先讓GPT-6 Astra處理N=15的情況；模型解決之後，再讓它把同樣的方法推廣到16、17，以及18和20……GPT-6 Astra都成功給出了證明結果。
只是嘛…… 證明過程一如既往晦澀難懂，令人費解。簡單來說，GPT-6 Astra的核心思路是： 不再直接尋找最優解，而是通過幾何約束，把無限多種可能的排列縮減為有限的情況，再用計算機逐一排除，最終嚴格證明經典排列已經最優。證明過程分為5步： 把靠外的圓盤推向邊界。證明在滿足特定條件時，可以把靠近外圓的圓盤向外移動，而不會引起重疊。這樣就把圓盤分成了邊界上的一組和內部的一組。利用角度關係排除大量排列。因為圓盤不能重疊，它們之間必須保持一定的角度間隔。如果某種排列要求的角度總和超過360°，就可以直接排除。讓計算機枚舉剩餘可能。不再搜索每個圓盤的具體座標，而是檢查圓盤到圓心的距離區間及其環繞次序。
用幾何剛性證明精確最優。前面的搜索只能證明，所有可行排列都非常接近已知的經典排列。接下來利用圓盤之間的接觸約束，證明這些排列無法發生符合條件的微小變形，從而把“非常接近”提升為“嚴格一致”。15個圓盤的情況使用了另一種奇數環論證。還原原始排列。最後證明，原始排列中必然至少有一個圓盤接觸外圓邊界。這意味著不可能把所有圓盤塞進半徑更小的外圓，從而完成最優性證明。值得強調的是，並不是nor給了一輪提示詞，Astra就哐哐哐全給證完了。
nor在博客文章中寫道，他作為人類，在這項工作種的貢獻包括： 確定問題的可行性、引導模型、與漏洞百出的網頁用戶界面作鬥爭、忍受糟糕的文案、修復細微問題、反覆推敲闡述、手動驗證其有效性，以及使用Astra和Opus 5.5重新檢查所有內容。One More Thing 挺有意思的一件事是，nor把結果一發出來，發現用AI在研究同一個問題的同道中人還不少。還有網友表示，AI的突破讓數學變得更容易理解了，“我都不知道數學領域能有這麼濃厚的探索氛圍”。站在數學愛好者們的角度來說，也是一種數學2.0時代的新氣象吧。原文鏈接： [1]https://nor-blog.pages.
dev/posts/2026-10-11-circle-in-circle-packing-15-20/ [2]https://x.com/norxornor/status/2109078411251454017 — 完 — 版權所有，未經授權不得以任何形式轉載及使用，違者必究。
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