把張益唐坑苦的雅可比猜想，被Fable 5證偽了？

# 利用Claude Fable 5，數學家推翻困擾學界85年的雅可比猜想

一條推文，一個反例，一篇僅有幾行多項式的論文，讓困擾代數幾何學界長達85年的雅可比猜想瞬間崩塌。Anthropic 的數學家 Levent Alpoge 在社交平台 X 上宣布，他與芝加哥大學代數幾何學家 Akhil Mathew 聯手，藉助自家大模型 Claude Fable 5，找到了一個令猜想無法成立的反例。這則消息在數小時內引爆全球數學圈，瀏覽量迅速突破五百萬，被形容為「AI 參與數學發現的歷史性時刻」。 Alpoge 的推文開頭輕描淡寫：「hello there」。他感謝了兩位朋友——其中「fable」正是 Anthropic 的最新大模型 Claude Fable 5，而他在世界盃決賽期間還在幫忙計算。推文正文不過幾行多項式，定義了一個從 C³ 到 C³ 的映射：其雅可比行列式處處等於常數 -2 —— 恰恰符合雅可比猜想的前提條件，但該映射卻將三個截然不同的點 (0, 0, -1/4)、(1, -3/2, 13/2) 和 (-1, 3/2, 13/2) 全部壓縮到了同一個目標點 (-1/4, 0, 0) 上。一個映射若將不同輸入映射到同一輸出，必然不可逆，這就足以徹底證偽該猜想。 ## 什麼是雅可比猜想？ 要理解這個反例的份量，得先回歸猜想本身。雅可比猜想由德國數學家 Ott-Heinrich Keller 於 1939 年提出：給定一個多項式映射 F: Cⁿ → Cⁿ，若其雅可比行列式（即所有偏導數構成的矩陣的行列式）處處為非零常數，那麼該映射是否必然全局可逆，且逆映射也為多項式？這個問題看似樸素，實則極其深邃。微積分中的反函數定理只能保證局部可逆，能否推至全域、且保持多項式結構，牽涉代數幾何與交換代數的核心難點。 雅可比猜想被列入斯蒂芬·斯梅爾「21 世紀數學問題」清單第 16 位，與黎曼猜想、Navier-Stokes 方程並列。它還有一個令人頭痛的特徵：表面平易近人，實則以「假證明」泛濫而臭名昭著。幾十年來，大量看似正確的最終證明被發現藏有微妙錯誤，以至於學界對任何相關結果都先持懷疑態度。兩個變量時最簡單的情形都未曾被解決。 ## 一個「小」反例為何逃過人類耳目？ 消息傳出後，數學界第一反應除了震驚，還有困惑：這個反例多項式次數不高、係數很小，為何過去 85 年無人通過窮舉發現？Hacker News 上出現了幾種解讀。有人認為學術數學界長期偏好「高價值」定理，低次反例這類「無功利」搜尋多留給業餘愛好者；近年的科研風氣更將研究者推離此類消遣。也有人指出，Fable 5 之所以能合成反例，可能因為它「讀過」大量前人失敗的證明——那些錯誤嘗試對多項式施加了種種限制，模型將這些限制內化後，在反覆提示與 Wolfram Alpha 驗證的幫助下，才逐漸逼近最終形式。 無論何種解釋，數學家 Jared Duker Lichtman 迅速跟進，逐步拆解了反例的機制。他在轉發中將該工作的署名寫為「Alpoge、Mathew 和 Claude Fable 5」，暗示模型已可被視為正式的合著者。多位學者使用計算工具復算，確認了碰撞點的存在。維基百科的雅可比猜想詞條經過反覆編輯後，已正式接納該結果。 ## 張益唐的苦澀迴響

事件最戲劇性的環節之一，與 AI 無直接關係，而是關乎一位華人數學家的坎坷經歷。Lichtman 在梳理中點明：雅可比猜想正是張益唐在博士期間的課題。當年他的導師讓他在一個已經「證明」的引理之上繼續構建，但該引理後來被發現錯誤，導致整篇博士論文無效。張益唐因此無法獲得推薦信，多年來在餐館、會計公司、加油站間輾轉，直到四十多歲才拿到穩定學術職位。但他最終以一己之力證明了「素數間隔有界」，成就數學史上最動人的翻身故事之一。 四十年後，那個曾將張益唐絆倒的猜想，卻在世界盃決賽之夜，被一群數學家與一個大模型聯手終結。歷史的安排，比任何小說更為工整。 ## AI 走進真正的開放問題

雅可比猜想反例的誕生，與此前 AI 解決數學問題的案例有本質不同。它不是在一套已知題庫中搜索形式化證明，而是一位在職研究者將模型當作合作夥伴，去獵捕一個已存在八十多年的公開猜想的反例，然後在社交媒體上直接發布結果。這引發了關於「模型到底在檢索人類智慧還是創造新知」的激烈辯論。反對「創造說」的人指出，反例本身必須被獨立理解與證實；支持者則強調，在此之前確實無人找到該反例，哪怕所有人都可以讀到前人工作。 一連串同類事件正在重塑數學界的認知：近幾個月，已有 AI 系統被報道解決了多個懸置數十年的 Erdős 問題，並能生成機器可驗證的正式證明。而此次 Fable 5 的參與，讓話題進一步升溫。 ## 別急著改教科書

目前，該反例尚未經歷正式的同行評審。好消息是，其驗證門檻極低：任何人只要將數字代入即可重現碰撞。多位數學家用 Wolfram Alpha 獨立復算後確認結果，但從「大家都算過、看起來對」到「學界正式接受」仍有流程相隔。 圍繞該猜想的新問題已然浮現。社區流傳一種說法：若補上「無窮遠處無退化」的條件，猜想或許還能修補保留。這個補丁版能否站穩，又是一個未知數。無論後續如何，此事件都已成為數學與 AI 協作史上的重要註腳——一條推文，一個反例，一次世界盃決賽夜的靈光，或許正為下一個數學時代掀開帷幕。