丘成桐新論文致謝了GPT和Claude

說出這句話的丘成桐，現在已經用上AI輔助研究了。而且解決的問題，還是44年前他親自列入自己的問題清單的。丘成桐參與的最新論文，在致謝裡感謝了GPT 6 Astra和Claude Pro，說它們幫忙探索了部分證明思路和計算。這篇論文處理的是微分幾何裡的一個經典猜想。問題關注的是七維空間，當中的球面有28種不同的「版本」，其中27種和我們熟悉的球面微妙地不同，數學上叫「怪球」。數學家一直想知道，這些怪球能不能像普通球面一樣，每個地方都均勻地向內彎。怪球1956年就被發現了，但這個彎曲的問題懸了70年。丘成桐1982年把它列進自己的問題清單，排第二位。現在，這篇AI輔助的論文終於給出了答案。

七維空間的27種「怪球」 1956年，美國數學家米爾諾（John Milnor）構造出了一種奇怪的東西。它和標準的七維球面在拓撲上完全一樣，你可以把它想象成一團橡皮泥，隨便揉捏、拉伸，都能變成普通的球面。但是如果你禁止揉捏，只允許光滑地變形，也就是每一個點的移動方式都平緩過渡、不許有突變，它就變不回去了。這種球面和標準球面「形狀一樣，手感不同」，數學上叫做「怪球」（exotic sphere）。米爾諾憑藉這個發現拿了菲爾茲獎。七年之後，科維爾（Kervaire）和米爾諾證明，七維空間裡這種「光滑版本」一共有28種。

標準球面算其中一種，其餘27種都是怪球，這28種構成一個代數結構，數學上記作Θ₇ ≅ Z/28Z。標準球面有一個很好的性質，它的「截面曲率」（sectional curvature）處處為正。通俗地說，就是這個球面的每一小塊、從每一個角度去看，都是向內彎曲的，沒有任何一個地方是平的或者向外翻的。數學家自然想知道，另外那27個怪球，能不能也做到這一點。最先取得突破的是格羅莫爾（Gromoll）和邁耶（Meyer）。1974年，他們在一個怪球上構造出了「非負曲率」的度量。也就是說，這個怪球的每一小塊要麼向內彎，要麼剛好是平的，但不會向外翻。

2020年，格特（Goette）、凱林（Kerin）和尚卡爾（Shankar）把這個結果推廣到了全部28種球面，證明每一種都能配上非負曲率的度量。但從「非負」到「正」，也就是從「允許有些地方不彎」到「每個地方都必須彎」，中間還差最後一步。這一步看似微小，實際上卡了數學界半個多世紀。2008年，彼得森（Petersen）和威爾海姆（Wilhelm）曾經發布預印本聲稱在一個怪球上做到了正曲率，但他們的證明始終沒有通過同行評審。丘成桐參與的這篇論文宣稱補上了從「非負」到「正」的這一步，它證明28種七維球面，每一種都能配上截面曲率嚴格為正的度量。

如果這個結果最終被數學界接受，那麼這個懸了許久的問題，將被徹底解決。兩塊圓盤，一道接縫 為什麼從「非負」跨到「正」這麼難？其中一個原因很微妙。布倫德爾（Brendle）和舍恩（Schoen）的微分球定理證明過，如果一個流形上的正曲率太均勻，也就是在任意一點、任意方向上，最大麴率和最小曲率之比都不超過4，那這個流形一定和標準球面「光滑等價」。換句話說，怪球上的正曲率必須正，但不能正得太均勻，否則它就不再是怪球了，因此留給構造的空間極為狹窄。論文的核心思路，是把每一個怪球切成兩半。具體地說，作者採用了杜蘭（Durán）、普特曼（Püttmann）和里加斯（Rigas）提出的「雙圓盤模型」。

在這個模型裡，每一種七維球面都可以看成兩個七維圓盤沿著各自的邊界粘合而成，28種球面對應28種不同的粘合方式。△AI生成 於是，問題就變成了：能不能在每塊圓盤上分別造出一個處處向內彎的度量，而且兩塊圓盤在接縫處嚴絲合縫。作者並不是直接在七維圓盤上造度量，他們先以三維球面S³ 為纖維的「主叢」（principal bundle），把問題搬到了一個十維空間裡。具體來說，在七維圓盤的每一個點上，都站著一個三維的小球，所有這些小球加在一起，就構成了一個十維的空間。在這個十維空間上造度量，技術上更容易控制。

然後，他們通過一種叫做「黎曼淹沒」（Riemannian submersion）的操作，把十維空間的度量「投影」到七維圓盤上。這裡有一個關鍵的數學工具叫做「奧尼爾公式」（O’Neill formula）。這個公式保證了一件事：從十維投影到七維之後，曲率只會變大或不變，不會變小。所以作者只需要在十維空間裡把曲率做到正的，投影下來的七維度量就自動滿足條件。而在十維空間裡做到正曲率的核心技巧，是把那些三維小球的「半徑」取到極小。纖維越細，它自身的彎曲程度就越大，這份巨大的曲率足以壓住其他方向上可能出現的負曲率貢獻。但是，兩塊圓盤的構造方法並不對稱。

「南盤」用的是一個彎曲的底盤加上精心選取的聯絡（connection），「北盤」用的則是扁平的乘積聯絡配合翹曲的徑向輪廓。兩種方法各有各的技術難點，但它們在邊界處必須完美對接，具體需要滿足兩個條件。一是邊界上誘導出的度量要完全一致，二是兩側的「第二基本形式」（second fundamental form），也就是邊界處的彎曲程度，加起來之後在每個方向上都嚴格為正。△AI生成 為了證明這兩個條件，論文先在兩塊圓盤的公共邊界上建立同一套座標，然後證明在這套座標下，兩側的纖維半徑關於法向的導數剛好相反。所以，纖維部分對第二基本形式的貢獻在拼接時正好抵消，而角向部分的貢獻加起來是嚴格為正的。

滿足這兩個條件之後，賴澤（Reiser）和雷斯（Wraith）的拼接定理就能保證，粘合後的整個球面上存在一個光滑的正曲率度量。於是，論文得到了其核心結論，28種七維球面，每一種都能配上截面曲率嚴格為正的度量。論文還附帶了一套用SageMath編寫的驗證代碼。整個構造涉及大量曲率不等式的精確估計和參數選取，僅靠人工逐一核查幾乎不可能完成，計算機驗證在這裡是證明可信度的重要支撐。丘成桐與AI這三年 丘成桐對AI的態度，這幾年經歷了一條清晰的變化軌跡。

2023年4月，在復旦大學出席浦江科學大師講壇前夕，他曾表示，「AI不可能對最尖端的數學家有任何影響，它還只能把現有的資料融會貫通，很難形成科學觀念上的突破」。2024年4月，他在中關村論壇上的說法稍微軟化了一些，他對AI的看法從「不會有任何影響」，變成了「對數學有很多好處，可以幫助數學的發展」，不過他堅持認為AI不可能改變數學。到了今年，他的口風已經明顯不同。

1月份在世界華人數學家大會上，他說AI改變的是科研效率，但還談不上範式革命； 6月份，他又說AI能解很多「nice, cute questions」，但離改變整個數學的突破還很遠； 7月份在國際弦理論大會上，他已經主張學生應該儘早學習使用AI工具，認為查資料、找文獻、歸納總結這些事情，AI都能幫上忙。然後就是這篇論文，他和兩位合作者在致謝裡感謝了ChatGPT 6 Astra和Claude Pro「在部分證明策略的探索和計算中提供的幫助」。論文緊接著補了一句，人工驗證和論文寫作的責任由作者自己承擔，儘管依然剋制，但和三年多之前的那句「不會有任何影響」相比，丘已經不再把AI擋在自己的研究之外了。

總之，AI在數學界的存在感已經強到讓頂尖數學家集體表態。陶哲軒是這一波AI浪潮裡最早擁抱AI的頂尖數學家，他把AI當作「研究助理」，用它輔助代碼生成、文獻檢索和形式化證明驗證。但他和今年的菲爾茲獎得主鄧煜等25位菲爾茲獎得主聯合發表了一份聲明，警告AI公司把解決數學問題當作benchmark來衝刺的做法，與數學共同體的目標已經出現「嚴重偏移」。在他們看來，數學研究的核心追求是概念理解與洞見，解題只是實現這個目標的工具。丘成桐也表達過相似的觀點。就在論文發出四天之前，他表示，AI能夠彙集既有知識、推動常規工作，但人往往因為已經得到想要的答案，反而不敢去問更重要的問題。

他認為，AI無法替代人類獨有的原創思考和瞬時迸發的靈感。丘成桐和陶哲軒對AI的關切，其實是相通的，他們都在追問同一件事，就是當AI越來越能解題，數學家還願不願意繼續去問那些AI解不了的問題。版權所有，未經授權不得以任何形式轉載及使用，違者必究。